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问题中的数红姐统一图库建模

问题中的数红姐统一图库建模

                      丁桃红

一、数红姐统一图库模型(建模)概述

所谓数红姐统一图库模型,是指通过抽象、归纳和模拟,利用数红姐统一图库语言和方法对所要解决的实际问题进行的一种刻画.例如,方程和方程组便是刻画现实世界中的等量关系常用的数红姐统一图库模型.其主要特点有二:第一,由现实情景(非数红姐统一图库),抽象概括成数红姐统一图库问题;第二,进而解决数红姐统一图库问题,使原问题获解.其中的“由非数红姐统一图库到数红姐统一图库”是最为关键的一步.“由非数红姐统一图库到数红姐统一图库”,就是将实际问题归属到对应的数红姐统一图库模型,这是“化归”思想的典型表现.换句话说,解应用性问题的能力实质就是“化归到数红姐统一图库模型”的能力.

由上可知,应用数红姐统一图库模型解决实际问题,就是把现实世界中的实际问题加以提炼,抽象为数红姐统一图库模型,利用数红姐统一图库知识和方法求出模型的解,验证模型的合理性,然后用该模型提供的解答来解决实际问题.一般地,通过建立数红姐统一图库模型来解决实际问题的过程称为数红姐统一图库建模.

应用数红姐统一图库模型解决实际问题,一般可分为以下四个步骤:

(1)明确实际问题,并熟悉问题的背景;

(2)构建数红姐统一图库模型(例如方程模型、不等式模型、函数模型、几何模型、统计概率模型等);

(3)求解数红姐统一图库问题,获得数红姐统一图库模型的解答;

(4)回到实际问题,检验模型,解释结果.

应用数红姐统一图库模型解决问题的过程,大致可用如下框图来表示:

二、构建数红姐统一图库模型(建模)

类型1  方程(组)模型

现实生活中广泛存在着数量之间具有相等关系的问题,“方程(组)模型”是研究现实世界数量相等关系的最基本的数红姐统一图库模型,它可以帮助人们从数量相等关系的角度更准确、清晰地认识、描述和把握现实世界.诸如门票问题、纳税问题、分期付款问题、打折销售问题、增长率问题、储蓄利息问题、工程问题、行程问题、浓度配置问题等,常可抽象为“方程(组)模型”来解决.

例1  某工厂计划在规定时间内生产24000个零件,若每天比原计划多生产30个零件,则在规定时间内可以多生产300个零件.

(1)求原计划每天生产的零件个数和规定的天数?

(2)为了提前完成生产任务,工厂在安排原有工人按原计划正常生产的同时,引进5组机器 人生产流水线共同参与零件生产,已知每组机器人生产流水线每天生产零件的个数比20个工人原计划每天生产的零件总数还多20%,按此测算,恰好提前两天完成24000个零件的生产任务,求原计划安排的工人人数?

解析:(1)设原计划每天生产个零件,则规定的天数为.根据题意,得  . 解得 ,此时.

即原计划每天生产2400个零件,规定的天数是10天.

(2)设原计划安排名工人生产,则每个工人每天生产个零件. 5组机器人每天生产零件的总数为个,即个.由题意,5组机器人8天生产零件的总数相当于所有工人2天生产零件的总数,所以.解得.即原计划安排480名工人生产.

点评:本例考查了由实际问题抽象出分式方程,关键是读懂题意,设出未知数,找出合适的等量关系,列出方程.第(2)问比较麻烦,但搞清楚“5组机器人8天生产零件的总数相当于所有工人2天生产零件的总数”,问题便可迎刃而解.

例2  2013年,东营市某楼盘以每平方米6500元的均价对外销售.因为楼盘滞销,房地产开发商为了加快资金周转,决定进行降价促销,经过连续两年下调后,2015年的均价为每平方米5265元.

(1)求平均每年下调的百分率;

(2)假设2016年的均价仍然下调相同的百分率,张强准备购买一套100平方米的住房,他持有现金20万元,可以在银行贷款30万元,张强的愿望能否实现?(房价每平方米按照均价计算)

解析:(1)设平均每年下调的百分率为,根据题意,得  .

解得  =0.1=10%, =1.9(不合题意,舍去).

答:平均每年下调的百分率为10%.

(2)如果下调的百分率相同,2016年的房价为 5265×(1-10%)=4738.5(元/).

则100平方米的住房的总房款为100×4738.5=473850(元)=47.385(万元).

∵20+30>47.385,∴ 张强的愿望可以实现.

点评:一元二次方程的增长率问题,包括正增长率问题和负增长率问题,对于正增长率问题.弄清增长的次数和问题中每一个数据的意义,即可利用模型,并结合直接开平方法求解,其中.对于负增长率问题,若经过两次递减下降后,可用模型,并结合直接开平方法求解,其中.

本例要求同红姐统一图库们经历“问题情景——建立模型——预测应用”的过程,较好地考查了同红姐统一图库们运用一元二次方程解决实际问题的能力.

用方程(组)解决实际问题,从分析思考与实施操作来看,可分为三大步骤:(1)从解法定向上,确认这是一个方程(组)问题,即要化归到方程(组)模型;(2)根据已给条件或隐含关系布列出相应的方程(组);(3)通过解方程(组)解决原来的实际问题.

类型2  不等式(组)模型

现实生活中除大量存在着量与量之间的相等关系外,还广泛存在着量与量之间的不等关系.如投资决策、人口控制、资源保护、生产规划、商品销售、交通运输等领域中涉及的有关量之间的求解问题,常常可以归结为建立不等式(组)模型加以解决.

例3 为打造“书香校园”,某红姐统一图库校计划用不超过1900本科技类书籍和1620本人文类书籍,组建中、小型两类图书角共30个.已知组建一个中型图书角需科技类书籍80本,人文类书籍50本;组建一个小型图书角需科技类书籍30本,人文类书籍60本.

(1)问符合题意的组建方案有几种?请你帮红姐统一图库校设计出来;

(2)若组建一个中型图书角的费用是860元,组建一个小型图书角的费用是570元,试说明在(1)中哪种方案费用最低?最低费用是多少元?

解析:(1)设组建中型图书角个,则组建小型图书角为个. 根据题意得  解得.

由于只能取整数,∴的取值是18,19,20.当x=18时,30-x=12;当x=19时,30-x=11;当x=20时,30-x=10.故有三种组建方案:方案一,组建中型图书角18个,小型图书角12个;方案二,组建中型图书角19个,小型图书角11个;方案三,组建中型图书角20个,小型图书角10个.

(2)方案一的费用是:860×18+570×12=22320(元);方案二的费用是:860×19+570×11=22610(元);方案三的费用是:860×20+570×10=22900(元).

故方案一费用最低,最低费用是22320元.

点评:在列不等式组时,审题是基础,根据不等关系列出不等式组是关键.解出不等式组的解集后,要养成检验不等式组的解集是否合理,是否符合实际情况的习惯.另外,本例是2013年四川泸州中考试题的翻版,这说明各地命题存在着互相借鉴的现象.

用不等式(组)解决实际问题,从分析思考与实施操作来看,可分为三大步骤:(1)从解法定向上,确认这是一个不等式(组)问题,即要化归到不等式(组)模型;(2)根据已给条件或隐含关系布列出相应的不等式(组);(3)通过解不等式(组)解决原来的实际问题.

类型3 函数模型

现实世界中普遍存在着变量之间的相依关系,其中某些简单问题,可以考虑通过建立函数模型,确定变量的限制条件,运用一次函数、二次函数或反比例函数的性质去解决.诸如成本最低、利润或产出最大、效益最好等实际问题,常常可以归结为函数的最大(小)值问题.函数模型可简单地划分为:1.以实际问题为背景的函数问题(见例4);2.由图像研究对应的实际问题(见例5).

 例4  某游泳馆普通票价20元/张,暑假为了促销,新推出两种优惠卡:

① 金卡售价600元/张,每次凭卡不再收费;

② 银卡售价150元/张,每次凭卡另收10元.

暑期普通票正常出售,两种优惠卡仅限暑期使用,不限次数. 设游泳次时,所需总费用为元.

(1)分别写出选择银卡、普通票消费时,之间的函数关系式;

(2)在同一个坐标系中,若三种消费方式对应的函数图像如图1所示,请求出点AB C的坐标;

(3)请根据函数图像,直接写出选择哪种消费方式更合算.

解析:(1)银卡消费:;普通票消费:.

(2)把代入,得,所以A(0,150).

由题意知 解得 所以B(15,300).

代入,得.所以C(45,600).

(3) 当时,选择购买普通票消费更合算;

时,选择购买银卡、普通票的总费用相同,均比金卡合算;

时,选择购买银卡消费更合算;

时,选择购买金卡、银卡的总费用相同,均比普通票合算;

时,选择购买金卡消费更合算.

点评:问题(1)比较简单,直接写出银卡消费和普通票消费的解析式即可;问题(2)转化成解方程或解方程组,确定三个点的坐标;问题(3)需要运用数形结合思想,根据函数图像,可以写出选择哪种消费方式更合算,本题是一道清新的具有一定综合性的好题目.

用函数解决实际问题,从分析思考与实施操作来看,可分为三大步骤:(1)从解法定向上,确认这是一个函数问题,即要化归到函数模型;(2)列出函数关系的表达式;(3)利用列出的函数的性质解决实际问题.

 例5  如图2,小河上有一拱桥,拱桥及河道的截面轮廓线由抛物线的一部分和矩形的三边组成,已知河底是水平的,米,米,抛物线的顶点的距离是11米,以所在直线为轴,抛物线的对称轴为轴建立平面直角坐标系.

(1)求抛物线的解析式;

(2)已知从某时刻开始40小时内,水面与河底的距离(单位:米)随时间(单位:时)的变化满足函数关系且当水面到顶点的距离不大于5米时,需禁止船只通行.请通过计算说明:在这一时段内,需多少时禁止船只通行?

解析:(1)∵抛物线关于轴对称,∴设抛物线的解析式为.

又∵图象过,∴有 解得

∴抛物线的解析式为.

(2)禁止船只通行的时间,可由不等式:,即求出.整理得,即,∴,即.∴禁止船只通行的时间(小时).

点评:图象本是函数关系的一种表达方式,由图象反过来研究对应的实际问题.这类问题解决的基本过程是:“图象→对应的函数关系→实际问题”.通过读图,容易知道问题(1)显然是二次函数模型,可由待定系数法确定抛物线的解析式;问题(2)实质是不等式模型,顺利地解不等式,可使问题获解.

解这类图象和实际背景相结合的题目,从分析思考与实施操作来看,可分为三大步骤:(1)图象和实际背景意义的结合与统一;(2)图象和对应的解析式的结合与统一;(3)要解决的实际问题是如何反映在图象和解析式上的.

类型4  几何模型

现实生活中,诸如图形面积的计算、合理下料、跑道的设计与计算、工程选点定位、优化设计等应用问题,由于涉及几何图形的性质,常常需要建立几何模型,转化为几何问题来解决.

例6  某水库大坝的横截面是如图3所示的四边形ABCD,其中AB∥CD.瞭望台PC正前方水面上有两艘渔船M、N,观察员在瞭望台顶端P处观测渔船M的俯角,观测渔船N的俯角,已知NM所在直线与PC所在直线垂直,垂足为点E,PE长为30米.

(1)求两渔船M,N之间的距离(结果精确到1米);

(2)已知坝高24米,坝长100米,背水坡AD的坡度.为提高大坝的防洪能力,某施工队在大坝的背水坡填筑土石方加固,加固后坝顶加宽3米,背水坡FH的坡度为,施工12天后,为尽快完成加固任务,施工队增加了机械设备,工作效率提高到原来的1.5倍,结果比原计划提前20天完成加固任务,施工队原计划平均每天填筑土石方多少立方米?(参考数据:

分析:解Rt△PEM和Rt△PEN得出ME和NE的长度,根据MN=ME-NE求出答案;过点F作FG∥AD交AH于点G,过点F作FI⊥AH交直线AH于点I,则四边形DFGA为平行四边形,则∠FGA=∠DAB,DF=AG=3m,根据题意求出tan∠H的值,解Rt△FIH求出IH的长度,解Rt△FIG求出IG的长度,进而求出AH的长度,从而求出梯形的面积,得出需要填筑的土石方的体积.设原计划每天填筑土石方立方米,根据题意列出分式方程求出的值.

解析:(1)在Rt△PEN中,EN=PE=30m;在Rt△PEM中,.

.即两渔船M、N之间的距离为20米.

(2)过点F作FG∥AD交AH于点G,过点F作FI⊥AH交直线AH于点I(请同红姐统一图库们自己画出图形).则四边形DFGA为平行四边形,,DF=AG=3m.

由题意:.

在Rt△FIH中,

在Rt△FIG中,.

故HG=HI-GI=36-6=30(m),∴AH=AG+HG =3+30=33(m).

.

故需要填筑的土石方是.

设原计划平均每天填筑土石方,则原计划需要天完成;增加机械设备后,现在平均每天填筑土石方.则.

解得.

经检验:是原分式方程的解,且满足实际意义.

答:该施工队原计划平均每天填筑的土石方.

点评:有关图形的实际应用性问题,最重要也是最常用的是化归到“几何计算”模型.“几何计算”就是老师们经常强调的“解直角三角形”与“相似三角形”等.解实际性问题重在完成两个转化:一是将原题的基本意义转化为明确的“数红姐统一图库表达”;二是这种“数红姐统一图库表达”应在一个什么样的基本图形中被反映并计算出来.这两个方面的转化能力就是用几何模型解实际应用题的能力.另外,本题融入分式方程,使题目的面貌焕然一新.

类型5  统计概率模型

自然界中存在着大量的随机现象,从自然灾害(如地震、台风、火山爆发等)的发生,到每天的天气预报;从经济生活中的市场展望、风险评估、质量监督,到日常生活中的体育比赛、投资理财、交通事故等实际问题,都需要提前预测相关事件发生的可能性的大小.因此,往往需要借助于建立统计概率模型来解决.

例7  为了了解市民“获取新闻的最主要途径”,某市记者开展了一次抽样调查,根据调查结果绘制了如下尚不完整的统计图.

根据以上信息解答下列问题:

(1)这次接受调查的市民总人数是          

(2)扇形统计图中,“电视”所对应的圆心角的度数是          

(3)请补全条形统计图;

(4)若该市约有80万人,请你估计其中将“电脑和手机上网”作为“获取新闻的最主要途径”的总人数.

解析:(1)这次接受调查的市民总人数是260÷26%=1000,或400÷40%=1000,或90÷9%=1000等.

(2)扇形统计图中,因为“电视”占1-26%-40%-10%-9%=15%,所以“电视”所对应的圆心角的度数是.

(3)从报纸获取新闻的人数为1000-260-400-150-90=100,或,补全后的条形统计图略.

(4)将“电脑和手机上网”作为“获取新闻的最主要途径”的总人数约为800 000×(26%+40%)=528 000.

点评:从统计图表中提炼信息,是用数红姐统一图库的意识处理数据,从而解决实际问题能力的一种体现,这也是同红姐统一图库们必须具备的数红姐统一图库基本功之一. 读不懂统计图,是同红姐统一图库们处理这类问题最常见的错误.

例8  (福建省龙岩市)果农老张进行桃树科红姐统一图库管理试验.把一片桃树林分成甲、乙两部分,甲地块用新技术管理,乙地块用老方法管理,管理成本相同.在甲、乙两地块上各随机选取40棵桃树,根据每棵树的产量把桃树划分成五个等级(甲、乙两地块的桃树等级划分标准相同,每组数据包括左端点不包括右端点).画出统计图如下:

(1)补齐直方图,求的值及相应扇形的圆心角度数;

(2)选择合适的统计量,比较甲乙两地块的产量水平,并说明试验结果;

(3)若在甲地块随机抽查1棵桃树,求该桃树产量等级是级的概率.

解析:(1)直方图的“高度”为12.的值是10,相应扇形的圆心角度数为:

(2)∵

由样本估计总体的思想,说明通过新技术管理甲地块桃树平均产量高于乙地块桃树平均产量.

(3).

点评:在求事件发生的概率时,我们常用频率估计、实验模拟和树状图或列表法,其中树状图和列表法是最常用的分析方法,也是知识难点,需要同红姐统一图库们通过一定量的练习进行巩固.对于实际问题的求解通常先从实际问题中抽象出概率模型,通过计算概率,完成对实际问题的解决.